Orientierungs-Teil

Die Metrik-Matrix muß nun noch durch eine Rotation so gedreht werden, daß diese mit der Orientierungsmatrix zur Deckung kommt.

$$\mathbf{U}=\mathbf{g}\cdot\mathbf{R}(\phi,\chi,\psi)$$

Zunächst wird die Transformationsmatrix $\mathbf{R}$ bestimmt mit

$$\mathbf{R}=\mathbf{g}^{-1}\mathbf{U}.$$

Die Matrix ist eine Hintereinanderausführung von drei Drehungen um $\phi,\chi,\psi$, deren Matrizen folgendermaßen aussehen:

$$\mathbf{R}(\phi)=\left(\begin{array}{ccc}\cos\phi&0&\sin\phi\\ 0&1&0\\ -\sin\phi&0&\cos\phi\end{array}\right)$$

$$\mathbf{R}(\chi)=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\ 0&\cos\chi&-\sin\chi\\ 0&\sin\chi&\cos\chi\end{array}\right)$$

$$\mathbf{R}(\psi)=\left(\begin{array}{ccc}\cos\psi&0&\sin\psi\\ 0&1&0\\ -\sin\psi&0&\cos\psi\end{array}\right)$$

Es ist $\mathbf{R}(\phi,\chi,\psi)=\mathbf{R}(\psi)\cdot\mathbf{R}(\chi)\cdot\mathbf{R}(\phi)$ also ist

$$\mathbf{R}(\phi,\chi,\psi)=$$

$$\left(\begin{array}{ccc} \cos(\psi)*\cos(\phi)-\sin(\psi)*\c... ...*\sin(\phi)+\cos(\psi)*\cos(\chi)*\cos(\phi)\end{array}\right).$$

Die Winkel ergeben sich nun durch Komponentenvergleich. Aus $R_5$ folgt $\chi=\pm arccos(R_5)$, aus der zweiten Zeile folgt $\phi=arctan(R_4/R_6)$ (oder +180$^o$) und $\psi=arctan(R_2/R_8)$ (oder +180$^o$). Das richtige Lösungstripel läßt sich leicht erhalten.

Nun ist also die Orientierungsmatrix zerlegt in einen Metrik- und einen Orientierungs-Teil, und diese können nun separat voneinander verfeinert werden.

Nun werden die indizierten Beugungsvektoren, welche aus den Positionen auf der Platte erhalten wurden an die berechneten verfeinert

$$h_{i,calc}=\vec{H}_i\mathbf{g}\mathbf{R}$$

Diese Verfeinerung hat im triklinen 9 Parameter (3 Orientierungs- und 6 Metrik-Parameter), im Kubischen nur 4 (3 Orientierungs- und 1 Gitterparameter). Auf diese Weise können Gitterparameter in einem festen Kristallsystem verfeinert werden.