Metrik-Matrix

Die Metrik-Matrix ist eine fiktive Orientierungsmatrix in einer Standardisierten Orientierung (z.B. entlang den Basisvektoren des Laborkoordinatensystems). Sie hat so viele von 0 verschiedene Komponenten, wie der Metrik-Tensor ($G=O^TO$) von 0 verschiedene Komponenten hat. Dieser hat im Triklinen 6 freie Parameter

$$\mathbf{g}=\left(\begin{array}{ccc}g_1&g_2&g_3\\ 0&g_4&g_5\\ 0&0&g_6\end{array}\right).$$

In speziellen Kristallsystemen sind nun einige Parameter 0 oder hängen von anderen ab. Im Tetragonalen ist

$$\mathbf{g}=\left(\begin{array}{ccc}g_1&0&0\\ 0&g_1&0\\ 0&0&g_6\end{array}\right).$$

Im Momoklinen

$$G'=\left(\begin{array}{ccc}\vert\vec{a}^*\vert&0&0\\ 0&\ver... ...\beta)&0&\vert\vec{c}^*\vert*cos(90-\beta)\end{array} \right).$$ (1)

Am schwierigsten ist der Fall im Triklinen, da hier eine Matrix erzeugt werden muß, die die korrekte Metrik hat, aber auf Dreiecksform gebracht ist.

Es seien $a,b,c$ die Längen der (direkten) Basisvektoren und $\alpha,\beta,\gamma$ die Winkel zwischen ihnen.

Es wird der Basisvektor $\vec{a}$ parallel zur X-Achse des Laborkoordinantensystems definiert

$$\vec{a}:=\left( \begin{array}{c}a\\ 0\\ 0\end{array}\right).$$

$\vec{b}$ soll in der X-Y-Ebene liegen

$$\vec{b}:=\left( \begin{array}{c}b\cos(\gamma)\\ b\sin(\gamma)\\ 0\end{array}\right).$$

Da $\vec{a}\vec{c}=\vert\vec{a}\vert\vert\vec{c}\vert\cos(\beta)$ ist, da $a_y=a_z=0$, gilt $c_x=\vert\vec{c}\vert\cos(\beta)$. Analog folgt aus $\vec{b}\vec{c}=\vert\vec{b}\vert\vert\vec{c}\vert\cos(\alpha)$ und damit $b_yc_x=bc\cos(\alpha)-b_xc_x$. $c_z$ wird aus der Länge von $\vec{c}$ bestimmt. Also ist

$$\vec{b}:=\left( \begin{array}{c}c\cos(\alpha)\\ \frac{1}{b_x}... ...os(\alpha)-b_xc_x)\\ \sqrt{c^2-c_x^2-c_y^2} \end{array}\right).$$

Dies ist die direkte Orientierungsmatrix $\mathbf{D}$. Die reziproke erhält man mit

$$\mathbf{D}^T(\mathbf{DD}^T)^{-1}=\mathbf{O}^T$$

Nun können Nebenbedingungen für die einzelnen Kristallsysteme definiert werden.