Oscillateur de Van der Pol


Principe
L'amplitude des oscillations d'un oscillateur harmonique amorti diminue avec le temps (voir le pendule de torsion). Pour obtenir une amplitude d'oscillation constante x, il faut forcer le coefficient d'amortissement à changer de signe lorsque l'amplitude s'écarte de la valeur xc de la consigne choisie. Une façon d'y parvenir est d'utiliser un oscillateur de Van der Pol qui obéit à l'équation :

La forme retenue pour le coefficient de dx(t)/dt (le facteur d'amortissement) permet d'atteindre le but cherché. Si ce coefficient est positif, il y a amortissement ; quand il est négatif, il y a amplification : le milieu extérieur doit alors fournir de l'énergie au système.
L'équation différentielle de Van der Pol n'est pas linéaire et n'a pas de solution analytique. Elle doit être intégrée numériquement.


L'applet :
L'équation différentielle est intégrée par la méthode de Runge-Kutta à l'ordre 4. Des zones de textes permettent de modifier la valeur du coefficient d'amortissement, l'amplitude de consigne et de l'amplitude initiale (la vitesse initiale est toujours nulle).
Un bouton permet de visualiser soit l'amplitude en fonction du temps soit le diagramme de phase (vitesse en fonction de l'amplitude).
Pour des faibles valeurs de l'amortissement (et donc de l'amplification) le système fonctionne en régime sinusoïdal ; l'attracteur ou cycle limite (voir le diagramme de phase) est une ellipse. Par contre pour les valeurs élevées de l, le signal ressemble à des oscillations de relaxation et la forme du cycle limite se rapproche d'un rectangle.
Dans certaines conditions, le système diverge. Le programme demande alors de modifier les valeurs des paramètres (il faut en général diminuer l'amortissement et l'amplitude initiale et augmenter l'amplitude de consigne pour retrouver la convergence.
Tester par exemple l = 0,8148, Xi = 2,0, Xc = 0,9 et faire varier légèrement Xi pour apprécier la sensibilité aux conditions initiales.

Retour au menu "Mécanique".