Pendule composé
Principe :
On considère un pendule dont le moment d'inertie par rapport à
son centre de gravité G est IG = mR2. (R
est le rayon de giration du pendule). Le calcul du moment des forces par rapport à l'axe de rotation O
permet
d'établir l'équation du mouvement en fonction de l'angle d'inclinaison
de OG = a par rapport à la verticale :
IO d2q/dt2
+ mg.OG sin q = 0. (1)
D'après
le théorème d'Huyghens sur les moments d'inertie, on peut écrire
que IO = IG + ma2 soit IO = m (a2
+ R2)
Si les amplitudes des oscillations sont assez faibles pour que l'on
puisse confondre le sinus de l'angle avec l'angle, on peut intégrer l'équation
et en déduire l'expression de la période qui est :
(2)
Il
existe donc deux valeurs de a pour lesquelles la durée de la période
d'oscillation est identique. (Pour le voir, élever l'expression de T au carré
ce qui donne une équation du second degré en a).
Montrer
que le produit a1.a2
= R2
et que la somme a1 +
a2
= gT2/4p2
est la longueur du pendule simple équivalent au pendule composé.
L'applet :
On peut au choix visualiser une animation du pendule ou la courbe T
= f (OG) donnant la
période en fonction de la distance OG = a.
Dans cette applet, j'ai
pris un rayon de giration R = 10 cm. Pour conserver un certain réalisme
à l'animation, j'ai
introduit un léger frottement visqueux (terme en dq/dt)
et fait une intégration numérique de l'équation du mouvement
(Runge-Kutta à l'ordre 4).
Le point rouge
correspond à la trace O de l'axe de rotation;
le point violet à celle du centre de gravité
G du pendule.
Les boutons [+] et [-]
permettent de modifier la valeur de a entre 2,5 cm et 50 cm. Il est possible
de déterminer la période avec le chronomètre intégré.
L'amplitude initiale des oscillation est assez faible pour que l'expression
de la période donnée par l'équation (2) soit correcte.
En mode animation, une pression sur le bouton droit de la souris permet de geler
celle-ci.
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